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高等数学(J)

《高等数学(J)》课程教学大纲

课程编号:0610121  0610122

课程名称:高等数学(J)

英文名称:Advanced  mathematics(J)

总 学 时:186                                

总 学 分:12

适用对象:数学素质较高的学生

先修课程:初等数学

一、课程性质、目的和任务

    高等数学(J)是我校进行教学改革的举措之一, 从入学新生中挑取考分高,尤其是数学考分及数学素质较高的学生组成一个高层次的教学改革班,该班对学生的要求较高,尤其数学思维,数学推理论证,数学运算及解题技巧,方法等方面均有较高要求。因之,其课程内容,习题配备均有较深的概念理解,较广的解题思路及较全面运算技能。

    通过本课程的学习,要使学生获得微积分、无穷级数、微分方程、向量代数与空间解析几何等方面的基本概念、基本理论和基本运算方法,为今后进一步获得数学知识和进一步学习专业基础课奠定必要的数学基础。

二、教学基本要求

     基本要求的高低用不同的词汇加以区分,从高到低,对概念、理论用“理解”、“了解”、“知道”三级区分,对运算方法用“熟练掌握”、“掌握”、“会”或“能”三级区分,“熟悉”相当于“理解”和“熟练掌握”。

1.函数、极限、连续:

①理解函数的概念。

②了解函数的四个特性。

③了解反函数及复合函数的概念。

④熟练掌握基本初等函数的性质及图形。

⑤能列出简单实际问题的函数关系。

⑥理解极限的定义,并能用极限的定义证明极限。

⑦掌握极限四则运算法则以及不定型求极限的方法。

⑧理解两个极限存在准则,并能应运用这些准则证明极限的存在及计算极限,熟练掌握利用两个重要极限求极限的方法。

⑨理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较,熟练掌握利用等价无穷小求极限。

⑩理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型。

⑾了解初等函数的连续性,掌握闭区间上连续函数的性质,并能应用这些性质证明及处理应用问题。

2.一元函数微分学:

①深刻理解导数和微分的概念,掌握导数的几何意义及可导与连续的关系。

②熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本公式。了解高阶导数概念,熟练掌握初等函数、隐函数、由参数方程确定的函数的一、二阶导数的求法及对数求导法。

③了解微分的几何意义及其应用。

④理解罗尔、拉格朗日定理,了解柯西及泰勒定理,并能应用这些定理证明及计算常见的问题。

⑤熟练掌握罗必塔法则。

⑥熟练掌握函数单调性的判别法、函数的极值及求法、最大与最小值方面的应用题;函数图形的拐点与凹向区间及应用,了解曲线的渐近线,能描绘简单函数的图形。

⑦掌握利用中值定理,函数的单调性,凹凸性等方法证明等式,不等式等问题。

⑧掌握弧微分的计算公式,知道曲率及曲率半径。

3.一元函数积分学:

①理解不定积分和定积分的概念与性质。

②熟悉不定积分的基本公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握较简单的有理函数及三角有理式的积分,会一些简单的无理函数的积分。

③熟练掌握变限函数的求导公式及牛顿—莱布尼兹公式。

④熟练掌握定积分的应用:深刻理解微元法思想,会求面积、旋转体积、功、水压力,引力等。

4.向量代数与空间解析几何:

①理解向量的概念,掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积以及混合积和它们的计算公式,了解它们的几何意义与物理意义)。

②掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件。

③熟悉单位向量、方向余弦的概念。

④熟练掌握平面与直线方程及它们之间的关系。

⑤掌握常用二次曲面的方程及图形以及旋转曲面的方程。

⑥知道空间曲线的参数方程和一般方程。

5.多元函数微分学:

①理解多元函数的概念,二元函数的极限、连续及有界闭域上连续函数的性质。掌握二元函数极限不存在的证明方法。

②理解偏导数、全微分概念及可微的充分与必要条件并熟练掌握其计算方法。

③理解方向导数与梯度的概念及计算法。

④理解连续、偏导数存在、可微、方向导数存在四者之间的关系。

⑤熟练掌握复合函数及隐函数的一、二阶偏导数的计算,会求由方程组确定的函数的偏导数,知道雅可比行列式。

⑥掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面及法线方程的求法。

⑦理解无条件极值,熟练掌握条件极值的求法——拉格朗日乘数法。

6.多元函数积分学:

①理解二、三重积分的概念、性质,熟练掌握其计算方法(直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标以及一般坐标变换)。

②理解两类曲线积分的概念及性质,熟练掌握两类曲线积分的计算方法,熟练掌握格林公式及积分与路径无关的条件。

③理解两类曲面积分的概念及性质,熟练掌握两类曲面积分的计算及高斯公式,斯托克斯公式及旋度的概念。掌握散度与旋度的计算,知道向量微分算子。

④熟练掌握上述各种积分的几何或物理意义并能解一些简单应用问题(体积、曲面面积、孤长、质量、变力作功、流量等)。

7.广义积分,参变量积分:

掌握广义积分的基本概念及计算,会判定广义积分的敛散性。

②掌握参变量积分的连续性,可积性与可导性,并能应这些性质计算较有用的积分。

掌握广义参变量积分的一致收敛的基本概念及M-判法。

掌握参变量积分的性质及应用。

了解Г-函数与Β-函数及它们之间的关系。

8.无穷级数:

①理解级数收敛、发散以及和的概念,了解级数的性质,熟悉等比级数和P-级数的敛散性。

②熟练掌握正项级数、交错级数的各种审敛法,掌握绝对收敛与条件收敛的关系。

③了解函数项级数收敛的概念。

掌握函数项级数一致收敛的概念及性质。

⑤熟练掌握幂级数的收敛域及和函数的求法,并能用和函数求数项级数的和。

⑥熟练掌握1/1-x)、exsinx 、cosx 、(1+x)m的麦克劳林公式并能利用这些展式将一些简单函数展成幂级数。

熟练掌握函数展成傅立叶级数的方法。

8.微分方程:

①了解微分方程的解、通解、初始条件、特解等概念。

②会识别下列一阶方程:变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努力方程、全微分方程。

③熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。会解贝努力及全微分方程。

④知道yn=f(x)y=f(x,y)y=f(y,y)的降阶法。

⑤了解(高)二阶线性方程解的结构,熟练掌握二阶常系数齐次线性方程的解法。了解伏朗斯基行列式及会判定函数组线性无关。

⑥熟练掌握自由项为多项式、指数函数、正弦与余弦函数的二阶常系数非齐次线性方程的解法,掌握自由项为上述函数的乘积时的特解形式的设法。

会解一些简单的微分方程组,了解一些特殊方程的特殊解法,了解微分算子。

 ⑧会用微分方程解决一些简单的几何与物理问题。

教学基本内容

1.函数与极限:

函数、初等函数、行列式。数列的极限、函数的级限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则与两个重要极限、无穷小的比较、函数的连续性与间断点、连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分:

导数概念、函数的和差积商的求导法则、反函数的导数、复合函数的求导法则、初等函数的求导问题、双曲与反双曲函数的导数、高阶导数、隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数、函数的微分、微分在近似计算中的应用。

3.中值定理与导数的应用:

中值定理、罗必塔法则、泰勒公式、函数单调性的判别法、函数的极值及求法、最大最小值问题、曲线的凹凸与拐点、函数图形的描绘、曲率、曲率中心及曲率半径。

4.不定积分:

不定积分概念与性质、换元积分法、分部积分法、几种特殊类型函数的积分、积分表的使用。

5.定积分:

定积分概念、定积分的性质及中值定理、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法。

6.定积分的应用:

定积分的元素法、平面图形的面积、体积、平面曲线的孤长、功、水压力、引力、平均值。

7.空间解析几何与向量代数:

空间直角坐标系、向量及其加减法、向量与数的乘法、向量的坐标、数量积、向量积、混合积、曲面及其方程、空间曲线及其方程、平面及其方程、空间直线及其方程、二次曲面。

8.多元函数微分法及其应用:

多元函数的基本概念、偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导法则、方程组的求导法,雅可比哈行列式,微分法在几何中的应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法。

9.重积分:

二重积分的概念与性质、二重积分的计算法、二重积分的应用、三重积分的概念及计算法、利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分,重积分的一般换元法。

10.曲线与曲面积分:

对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、格林公式及其应用、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分、高斯公式、通量与散度、斯托克斯公式、环流与旋度。

11.广义积分  参变量积分:

广义积分,参变量积分,一致收敛的判定和性质,Г-函数和В-函数。

12.无穷级数:

常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法、函数项级数,一致收敛及其性质,幂级数、函数展开成幂级数、函数展开成幂级的应用、傅立叶级数、正余弦级数、周期为2L的周期函数的傅立叶级数。

13.微分方程:

微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程、可降阶的高阶方程、高阶线性微分方程、函数组的线性相关性,伏朗斯基行列式,二阶常系数齐次线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程,一阶微分方程组。

各教学环节学时分配(建议)

        教学环节

课程内容

讲课

习题课

讨论课

实验

其他

合计

函数与极限

12

4

 

 

 

16

导数与微分

10

4

 

 

 

14

中值定理与

导数的应用

10

6

 

 

 

16

不定积分

10

4

 

 

 

14

定积分

8

4

 

 

 

12

定积分的应用

4

2

 

 

 

6

空间解析几

何与向量代数

12

4

 

 

 

16

多元函数微

分法及应用

14

4

 

 

 

18

重积分

12

4

 

 

 

16

曲线与曲面积分

12

6

 

 

 

18

无穷级数

12

6

 

 

 

18

微分方程

16

6

 

 

 

22

合计

152

34

 

 

 

186

 

、推荐教材和教学参考书

    教材:

    《高等数学》(第版),同济大学数学系编,高等教育出版社。

    参考书:

    《高等数学》(第二版),清华大学应用数学系  盛祥耀等编著,高等教育出版社

    《高等数学辅导盛祥耀等编著,清华大学出版社

    《微积分》,清华大学数学数学科学系《微积分》编写组,清华大学出版社。

 

 

 

                                                     大纲执笔者:彭武安

                                                     大纲校对者:

                                                     大纲审核者:数理系教学指导委员会

                                                     制订日期:201412