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## 高等数学(上)(双语)

高等数学（上）（双语）课程教学大纲

The course, Advanced Mathematics (I), essentially decomposes in three parts: limits, unary function calculus and 1st-order ordinary differential equations. As a powerful tool to study many processes involving change, the course is required for all the students in almost all faculties of science. This subject seeks to present mathematics as an organized body of knowledge that will provide students with a sound basis for later work in mathematics and other subjects.

I  Limits and Continuity

1. Be familiar with the idea of average rate of change of a function over a given interval;

2. Be familiar with the formal definition and geometric interpretation of limit;

3. Know to identify limits including using tables and graphs;

4. Be familiar with both one-sided and two-sided limits and the theorems connecting the two;

5. Good command of using limit rules/laws;

6. Good command of finding limits algebraically, including direct substitution, eliminating zero denominators(by factorization, multiply the conjugate and equivalent infinitesimal substitution) and sandwich theorem(or squeeze theorem);

7. Good command of limits involving trigonometry;

8. Be familiar with finite limits and limit rules as x approaches infinity;

9. Be familiar with limits of rational functions as x approaches infinity;

10. Know how to find the horizontal and vertical asymptotes;

11. Be familiar with precise definition of infinite limits and end behavior model;

12. Be familiar with recognizing and evaluating an infinite limit;

13. Know to find the oblique (or slant) asymptote of a function. Then, sketch a graph of the function including all asymptotes;

14. Be familiar with definition of continuity at a point;

15. Command of applying limits to determine the continuity of a function at a point;

16. Be familiar with proving the continuity of a given function on an interval;

17. Be able to test discontinuity by showing one of the three continuity conditions does not hold at the point in question;

18. Be able to identify discontinuities on graphs;

19. Be able to classify discontinuities as removable, jump, oscillating or infinite;

20. Be able to extend the definition of a function to make it continuous;

21. now the properties of continuous functions( i.e. algebraic combination of continuous functions and all composites of continuous functions are continuous);

22. Know intermediate value theorem for continuous functions;

23. Can Use the Intermediate Value Theorem (IVT) to show that an equation has at least one solution or a given number of solutions.

II   Derivatives

1. Know the average and instantaneous rates of change, including find the equation for a tangent line and/or a normal line to a curve at a given point;

2. Be familiar with differentiation of a function using one of the limit definitions at a specific x-value;

3. Be familiar with the limit definition of derivative;

4. Be able to use limit definition to find derivative of relatively simple functions;

5. Can match derivatives and corresponding functions;

6. Be familiar with both one-sided and two-sided derivatives and the relationship of them;

7. Know that differentiability implies continuity;

8. Know when a function is differentiableCases when derivatives not exists (Discontinuous, Corners, Vertical tangent line)

9. Be familiar with finding Higher order derivatives;

10. Be familiar with finding the derivative of a function using differentiation rules, including power, quotient, chain, product, constant multiple, sum and difference rules;

11. Good command of the differentiation of a function involving trigonometric functions;

12. Be able to use not only algebraic expressions, tables, graphs, with rules to find derivatives;

13. Be familiar with usinge the Chain Rule to differentiate a composite function;

14. Be able to find the second derivative of an implicit function;

15. Can use relationships with implicit differentiation to derive relationships between rates;

16. Can solve applications involving related rates using the problem strategy.

17. Understand the conception of Linearization and Differentials;

18. Be familiar with finding the Linearization and Differentials of a given differentiable function.

III   Applications of Derivatives

1. Be familiar with the definition of absolute and global extreme values;

2. Be familiar with the Extreme-value theorem for continuous functions;

3. Be familiar with local extreme value theorem (Fermats Lemma);

4. Be familiar with finding absolute and global extreme values and know when they don’t exist;

5. Know the mean value theorem (MVT);

6. Can use IVT and MVT to show the existence of the root of a given equation;

7. Know when MVT can be “violated”;

8. Good command of the conceptions of increasing and decreasing functions;

9. Be familiar with the First Derivative Test for increasing and decreasing;

10. Be familiar with first derivative test to identify local extremes;

11. Good command of the conceptions of Concave up and down;

12. Be familiar with second derivative test for concavity;

13. Be familiar with the definition of inflection points;

14. Be familiar with second derivative test for local extremes;

15. Be familiar with using the derivative information to draw a graph that gets all this info correct;

16. Be able to extend periodic functions as appropriate;

17. Know the optimization application;

18. Be familiar with L’h？pital’s rule;

1) Know L’h？pital’s rule and how to use it, once, twice, maybe more

2) Indeterminate forms and how to convert between them so that eventually use L’h？pital’s rule

19. Know the use of Mean Value Theorem to establish some basic facts of differential equation

IV   Integration

1. Be familiar with Anti-derivatives;

2. Given a function, be able to the anti-derivative graphically and algebraically;

3. Be familiar with definition of indefinite integrals;

4. Be familiar with the basic indefinite integral formulas;

5. Be familiar with solving initial value problems for ODEs;

6. Be familiar with integration rules for indefinite integral;

7. Know Riemann sums;

8. Be familiar with definite integral as a limit of Riemann sums;

9. Be familiar with rules of definite integrals;

10. Be familiar with finding area under the graph of a nonnegative continuous function;

11. Be familiar with average value of any continuous function;

12. Know the Mean Value Theorem for definite integrals;

13. Be familiar with the fundamental theorem of calculus (FTC).

14. Be familiar with integration by substitution (indefinite and definite);

15. Be familiar with basic integration formulas;

16. Be familiar with the substitution method to evaluate the integrals;

17. Be able to use symmetries to simplify integrals

V   Applications of Integrals

1. Be good at finding area between curves

2. Be good at finding volumes by slicing;

3. Be good at finding the volume of a region rotated about a line using flat disks/washers;

4. Be able to find the volume of a region rotated about a line using thin cylindrical shells;

5. Be good at finding Lengths of plane curves;

6. Be able to find the work done by a variable force;

7. Know how to do with spring problems;

8. Know how to do with fluid forces;

9. Know how to find the moments and center of mass.

VI   Transcendental Functions and ODEs

1. Be familiar with Logarithmic and Exponential Function

1) Definition of the Natural Logarithm and Natural Exponential;

2) Properties of the natural exponential function;

3) Limits involving the exponential and logarithmic;

4) Finding derivatives and integrals of Logarithmic and Exponential Functions;

5) Logarithmic Differentiation;

6) Derivatives and integrals of inverse functions;

7) Be able to use all these rules in conjunction with the rest of the differentiation rules (power rule, product rule, chain rule, etc.).

2. Be familiar with the Inverse Trigonometric Functions

1) Use inverse definition with implicit differentiation to find derivatives of inverse trig functions;

2) Memorize derivatives for inverse trig functions;

3) Use those memorized derivatives with other differentiation rules to find more general derivatives.

3. Know hyperbolic functions

1) Introduction to hyperbolic functions (Know definitions of the hyperbolic    functions in terms of exponentials);

2) Important Identities;

3) Derivative and integral formulae for hyperbolic functions.

4. Be familiar with First Order ODEs

1) Be familiar with all terminology involved in differential equations (first order, second order, linear, initial and boundary conditions, homogeneous, non-homogeneous).

2) Be able to write down differential equations given relationships between rates of change of substances and the actual amounts of the substances.

3) Be able to check whether or not a given function is a solution of the ODEs

4) Use separation of variables to solve a first order ODEs (and know when an equation is not separable and you can’t solve using separation of variables).

5) Find unknown constants using initial conditions.

6) Use an integrating factor to solve a first order linear ODEs.

7) Know how to find solutions to linear first order inhomogeneous ODEs using variation of parameters

8) Modeling and Applications (Exponential growth and decay)

1. Be familiar with the technique of integration by parts;

2. Know the method of partial fractions;

1) Polynomial long division

2) Be able to factor denominator

3) Be able to find the coefficients on the partial fraction decomposition terms

4) Integration of resulting integrand

3. Know trigonometric substitution;

4. Know integration tables;

5. Know improper integrals:

1) Be able to identify when you have an improper integral: Infinite domain (type I) and Discontinuous integrand (type II);

2) Find improper integral by applying appropriate limit/breaking up integral appropriately.

、实践环节的内容、方法及基本要求

 教学环节 课程内容 讲课（包括习题课、讨论课） 实验 上机 课外 合计 Limits and Continuity 16 32 48 Derivatives 18 36 54 Applications of Derivatives 12 24 36 Integration 16 32 48 Applications of Integrals 12 24 36 Transcendental Functions and ODEs 6 12 18 Advanced Techniques of Integration 10 24 34 合计 90 180 270

、考方式

CLOSED-BOOK EXAMINATION

The subject attempts to develop the following abilities

Cognitive Objectives

Students will be expected to:

• Recall mathematical facts and traditional terminology
• Acquire mathematical concepts
• Understand mathematical relationships
• Acquire manipulative and computational skills
• Use mathematical facts, traditional terminology, concepts, relationships and skills in routine ways
• Comprehend information in oral and written forms including graphical, diagrammatic and tabular presentations
• Select and use appropriate forms for representing mathematical data and relationships
• Recognize and extend patterns and make conjectures, predictions and inferences from information given in oral and written forms
• Understand and use deductive reasoning
• Apply suitable mathematical techniques and problem-solving strategies to both routine and non-routine situations
• Select and use different technologies appropriately.
• Communicate mathematical ideas and results in both oral and written forms
• Compare results with expectations and verify the suitability and reasonableness of a result.

Affective Objectives

It is highly desirable that student:

• Develop an interest in mathematics, and acquire a positive attitude towards its use and power
• Show a willingness to participate and persevere in the learning of mathematics
• Develop confidence in their ability to use mathematics effectively
• Appreciate the benefits of using technology in mathematics
• Display responsibility for their organization, presentation and learning of mathematics
• Interact in a constructive and cooperative manner with peers and teachers and respond constructively to advice.

、推荐教材和参考文献

《Thomas’ Calculus(Tenth Edition) (I)Ross L.Finney , Maurice D.Weir , Frank R.Giordano，High Education Press2004.

Calculus(Fifth Edition)(I)》，James Stewart High Education Press2007.

Calculus(I)》，William Briggs ,China Renmin University Press2012.

Calculus(eighth Edition) (I)》，William Briggs China Machine Press2012.

《Thomas’ Calculus(12th Edition) (I)Ross L.Finney ect.,Pearson,2009.

《Principles of Mathematical Analysis (Third Edition)》Walter Rudin，China Machine Press2004.

Advanced Mathematics (I)》，Xue Zhichun etc.Qinghua University Press2013.

Advanced Mathematics (I)》，Mathematics group of Tongji University，High Education Press2014年

《Calculus (I)》，F.M. Feihejingeerci，High Education Press2013.

《Calculus (II)》，F.M. Feihejingeerci，High Education Press2013.

Study Guide and Excises of Calculus》，Peng Huichun  Wei JunqiangQinghua University Press2014.

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大纲制订人：彭慧春

大纲审定人：马德香

大纲校对人：张金平、黄晔辉

制订日期： 201412