《线性代数 J》课程教学大纲

课程编号： 00900463

课程名称： 线性代数                      

英文名称： Linear Algebra 

总 学 时： 48           

 学　　分： 3

适用对象:  本科一年级学生

先修课程： 一元微积分

一、课程性质、目的和任务 

    线性代数是理工科甚至文科学生大学阶段重要的基础课程，目的是训练学生熟练解决线性系统问题，即求解方程组。通过对行列式，矩阵的分析，从代数学的角度了解方程的代数结构，从而利用代数的办法熟悉解的结构和求解方法。通过对特征值的了解设法将矩阵对角化，为今后学习微分方程和算子理论打下良好的代数学基础，同时相关专业课程也充满了对系统求解的需求，于是线性代数的应用十分广泛。

二、教学内容、方法及基本要求 

    熟练掌握行列式的定义和性质，熟悉行列式的运算.熟练掌握矩阵的相等、和、差、数乘、转置、共轭、逆运算即运算律.熟练进行矩阵的初等变换和分块运算.熟悉矩阵的等价、相似和合同关系.熟悉方程组解的结构定理，熟悉线性方程组解的存在性、唯一性的特征刻画。熟练掌握初等变换方法求解代数方程。熟悉向量空间的概念，熟练掌握向量组的线性相关，线性无关的概念。熟练求得向量组的最大线性无关组，熟悉向量组线性表示和向量组之间的等价关系。熟练求出线性方程组的基础解系和通解。熟练将线性无关向量组规范正交化.熟悉特征值、特征向量、二次型的概念，了解矩阵可以对角化的特征。熟练将实对称矩阵对角化，熟练掌握二次型的规范化.熟练掌握正定二次型的判定方法。了解线性空间及线性变换的概念，了解相关数学软件求解线性方程组.    

1. 掌握n阶行列式的定义，会用定义计算2阶、3阶行列式。

2. 熟悉n阶行列式的性质，并能熟练地应用性质进行有关的计算与证明。

3. 掌握行列式按行（列）展开的方法，理解行列式的余子式及代数余子式的概念。

4. 熟悉计算n阶行列式的一般方法，会计算一些简单的n阶行列式。

5. 了解克拉默法则，并能应用它来求解线性方程组。

6. 掌握矩阵的有关概念，了解线性变换与矩阵的一一对应关系。

7. 熟练掌握矩阵的各种运算，理解矩阵可逆的概念，能判断一个矩阵是否可逆，掌握可逆矩阵的性质，能熟练地用求逆公式求逆阵。

8. 掌握分块矩阵的运算，尤其是矩阵乘法与求逆的运算。

9. 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等方阵的性质。

10. 掌握矩阵秩的概念，会用初等变换法求矩阵的秩、矩阵的逆。

11. 熟练掌握线性方程组的有关概念，以及非齐次线性方程组有解的判定方法，掌握用初等变换法求线性方程组通解的方法。

12. 掌握向量组的线性组合、线性相关、线性无关、向量组的极大线性无关组和秩的概念与性质；掌握矩阵的秩与向量组的秩之间的关系。

13. 了解线性方程组的基础解系的概念，熟悉线性方程组解的结构。

14. 了解向量空间的概念。

15. 了解向量的内积的概念及性质，掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。

17. 掌握相似矩阵、正交矩阵的概念及性质。

18. 会求方阵的特征值和特征向量，会求实对称矩阵的相似矩阵。

19. 能用正交变换法和配方法化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。

三、实践环节的内容、方法及基本要求  

（注：根据具体实验项目列出实验的性质和学时、内容及要求）

1. n阶行列式

ｎ阶行列式的定义和性质；行列式按行（列）展开的定理，行列式的余子式及代数余子式的概念；计算n阶行列式的一般方法；克拉默法则。

2. 矩阵及其运算

线性变换与矩阵的一一对应关系；矩阵的各种运算；可逆矩阵的概念及求逆阵的方法；分块矩阵的运算。

3. 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等行（列）变换、初等方阵、矩阵的秩的概念；求矩阵的秩的方法；求矩阵的逆方法；求矩阵的逆；用初等变换法求线性方程组的通解。

4. 向量组的线性相关性

向量组的线性相关、线性无关、向量组的最大无关组和秩的概念与性质，向量组的线性相关性的判定定理；线性方程组的基础解系的概念，线性方程组解的结构，向量空间的概念。

5. 相似矩阵与二次型

向量的内积的概念及性质，线性无关向量组的施密特正交化方法；方阵的特征值和特征向量的概念及求法；相似矩阵及实对称矩阵的相似矩阵的求法；二次型及其标准型；正定二次型。

四、各教学环节学时分配 

教学环节 课程内容	讲课（包括习题课、讨论课）	实验	上机	课外	合计
行列式及其性质	8			5	13
矩阵及其运算	8			4	12
线性方程组求解	4			2	6
向量组的线性相关性	12			8	20
特征值与特征向量	10			6	16
二次型	6			5	11
合计	48			30	78

表格居中，表格宽度基本占满版心，行高设为0.8cm（两行文字的设为1.1cm）。

五、考核方式

    闭卷考试

六、对学生能力培养的体现     

       熟练掌握线性系统的求解方法及相容的概念，熟练应用线性代数的基本概念，基本方法和基本运算处理实际问题 ，对专业课程需求相应的代数学内容有一定的了解。

七、推荐教材和参考文献  

教    材：《线性代数》，同济大学 编著，高等教育出版社，2007年。

参考文献：

1.《线性代数》，居余马等编著，清华大学出版社，2002年。

2.《Linear Algebra With Applications》,Steven J.Leon, 2014（第九版）  

3.《高等代数》，北京大学数学力学系编，高等教育出版社。

4.《大学数学学习指南 线性代数》 刘建亚总主编 北京大学出版社

2004年08月第1 版

5.《线性代数学习指导与习题解析》周泰文 华中科技大学出版社 

2004年06月第1版

6.《线性代数典型题精讲：2002版》许甫华 大连理工大学出版社 2002年

 

八、说明 

 无

 

 

 

                                                                大纲制订人：张希荣

                                                                大纲审定人：马德香 

                                                                大纲校对人：曹艳华、侯居跃

                                                                制订日期：2014年12月